Τρίβουμε τα κολοκυθάκια στη χοντρή μεριά του τρίφτη. Τα αλατίζουμε, ανακατεύουμε και τα αφήνουμε να σταθούν 10-15 λεπτά. Τα μεταφέρουμε σε σουρωτήρι το οποίο θα ακουμπήσουμε πάνω από ένα μπολ. Με τα χέρια μας, πιέζουμε τα κολοκυθάκια να χάσουν το νερό τους. Κάνουμε τη διαδικασία μέχρι ο όγκος τους να μειωθεί στο μισό τουλάχιστον, και να χάσουν όσο περισσότερο νερό γίνεται.

Σε ένα τηγάνι που μεταφέρεται και στον φούρνο, σοτάρουμε το κρεμμύδι στο ελαιόλαδο μέχρι να πάρει χρυσαφένιο χρώμα. Εναλλακτικά, σοτάρουμε το κρεμμύδι σε τηγάνι και το μεταφέρουμε σε ταψί με τα υπόλοιπα υλικά.

Αποσύρουμε το τηγάνι με το κρεμμύδι από τη φωτιά. Προσθέτουμε τα στραγγισμένα κολοκυθάκια, τα φρέσκα κρεμμυδάκια, άνηθο, μαϊντανό, φέτα και πιπέρι. Ανακατεύουμε να αναμειχθούν. Περιχύνουμε με τα αυγά και απλώνουμε ομοιόμορφα. Πασπαλίζουμε με τα τυριά.

Μεταφέρουμε στο φούρνο και ψήνουμε 30-35 λεπτά στους 190˚ C, στον αέρα.

Σερβίρεται ζεστή, σε θερμοκρασία δωματίου ή και κρύα.