Τρίβουμε τo χαλούμι και την ξηρή αναρή και θρυμματίζουμε την φρέσκια αναρή με τα χέρια ή τη λιώνουμε με ένα πιρούνι. Ψιλοκόβουμε το δυόσμο. Τον βάζουμε στο μπολ με τα τυριά και προσθέτουμε το αλεύρι, το σιμιγδάλι, τη μαστίχα και το μαχλέπι (αφού τα κοπανίσουμε), το μπέικιν πάουντερ, τη ζάχαρη, τις σταφίδες και ανακατεύουμε. Προσθέτουμε τα αυγά και ζυμώνουμε καλά. Τα αφήνουμε κατά μέρος μέχρι να ετοιμάσουμε τη ζύμη.

Σε ένα μπολ βάζουμε το αλεύρι, το σιμιγδάλι, το αλάτι, το μαχλέπι, τη μαστίχα (αφού τα κοπανίσουμε), το μπέικινγκ πάουντερ και τη ζάχαρη. Ανακατεύουμε καλά και ρίχνουμε το ελαιόλαδο, το λιωμένο βούτυρο, τον χυμό πορτοκάλι και το νερό. Ζυμώνουμε με τον γάντζο του μίξερ μέχρι να έχουμε μια μαλακή ζύμη.

Παίρνουμε 160 γραμμάρια από τη γέμιση (φουκό) και φτιάχνουμε σφικτές στρογγυλές μπάλες (θα δημιουργήσουμε 8 μπάλες). Παίρνουμε 137 γραμμάρια ζύμη (κρατάμε την υπόλοιπη σκεπασμένη για να μη στεγνώσει) τη ζυμώνουμε και ανοίγουμε με τον πλάστη ένα κύκλο στο μέγεθος του πιάτου του γλυκού. Ανακατεύουμε λίγο το σουσάμι και βάζουμε μέσα το φύλλο πιέζοντάς το για να κολλήσει στην κάτω μεριά. Τοποθετούμε στο κέντρο του μια μπάλα γέμισης, αλείφουμε γύρω – γύρω με το αυγό για να κολλήσει η ζύμη πιο εύκολα και διπλώνουμε τις πλευρές προς τα μέσα σχηματίζοντας ένα τετράγωνο. Στρώνουμε ένα ταψί με αντικολλητικό χαρτί και τοποθετούμε τις φλαούνες αφήνοντας 3 εκ. μεταξύ τους. Τις αλείφουμε (το φύλλο και τη γέμιση) με τα χτυπημένα αυγά, στα οποία έχουμε βάλει τις 2 κουταλιές σουσάμι. Πιέζουμε με ένα πιρούνι τις άκριες του φύλλου για να κολλήσουν καλά. Ψήνουμε τις φλαούνες στον ξυλόφουρνο ή στον προθερμασμένο οικιακό φούρνο στους 180° C, στον αέρα, για 40-45 λεπτά ή μέχρι να ροδίσουν καλά.